Электрические цепи несинусоидального тока

Содержание

4.1.1 Разложение периодических несинусоидальных функций в гармонический ряд

Аналитическое описание несинусоидальной периодической функции осуществляется с помощью теоремы Фурье, согласно которой любая периодическая функция ƒ(ωt) может быть представлена в виде суммы ряда составляющих, из которых одна составляющая постоянная, а другие являются синусоидальными функциями с кратными частотами (гармонические составляющие или просто гармоники).

где A; – постоянная составляющая (нулевая гармоника);

А₁, А₂;, А₃;, А_k; – амплитуды гармонических составляющих;

φ₁, φ₂, φ₃, φ_k – начальные фазы соответствующих гармоник.

Первая гармоническая составляющая имеет период, равный периоду несинусоидальной кривой ƒ(ωt). Она называется первой или основной гармоникой.

Все другие гармонические составляющие имеют частоты, в целое число раз большие частоты первой гармоники. Эти гармоники называются высшими.

Выражение 4.1 можно преобразовать, применив известную из тригонометрии формулу синуса суммы двух углов:

Обозначив постоянные величины A_k;Cosφ_k=B_k, A_kSinφ_k=C_k, получим:

Применяя подобную запись ко всем гармоническим составляющим, несинусоидальную функцию можно представить так:

Особенность такой записи состоит в том, что гармоники составляют ряд синусов и ряд косинусов с нулевыми начальными фазами.

Коэффициенты A; B_k; C_k ряда определяются при помощи следующих формул:

Если закон изменения ординат кривой можно выразить аналитически, то выражения (4.5) – (4.7) позволяют в большинстве случаев выполнить аналитически разложение в тригонометрический ряд вида (4.4) и далее, если требуется перейти к ряду (4.1). Постоянная составляющая, как видно из формулы (4.5), является средним значением функции за ее период.

Таким образом, постоянная составляющая в тригонометрическом ряду отсутствует, если среднее за период значение функции равно нулю.

1) Классический метод расчета переходных процессов

Название метода «классический» отражает использование в нем решений дифференциальных уравнений с постоянными параметрами методами классической математики.

Расчет переходного процесса в цепи классическим методом содержит следующие этапы:

1. Прежде всего, необходимо составить систему уравнений на основе законов Кирхгофа, Ома, электромагнитной индукции и т. д., описывающих состояние цепи после коммутации, и исключением переменных получить одно дифференциальное уравнение, в общем случае неоднородное относительно искомого тока i или напряжения u. Для простых цепей получается дифференциальное уравнение первого или второго порядка, в котором в качестве искомой величины выбирают либо ток в индуктивном элементе, либо напряжение на емкостном элементе.

2. Далее следует составить общее решение полученного неоднородного дифференциального уравнения цепи в виде суммы частного решения неоднородного дифференциального уравнения и общего решения соответствующего однородного дифференциального уравнения.

Применительно к электрическим цепям в качестве частного решения неоднородного дифференциального уравнения выбирают установившийся режим в рассматриваемой цепи (если он существует), т. е. постоянные токи и напряжения, если в цепи действуют источники постоянных ЭДС и токов, или синусоидальные напряжения и токи при действии источников синусоидальных ЭДС и токов. Токи и напряжения установившегося режима обозначают i и u и называют установившимися.

Общее решение однородного дифференциального уравнения описывает процесс в цепи без источников ЭДС и тока, который поэтому называют свободным процессом. Токи и напряжения свободного процесса обозначают i

и и и называют свободными, а их выражения должны содержать постоянные интегрирования, число которых равно порядку однородного уравнения.

Свободный процесс вызывается несоответствием между энергией, сосредоточенной в электрическом и магнитном полях емкостных и индуктивных элементов в момент времени, непосредственно предшествовавший коммутации, и энергией этих элементов при новом установившемся режиме в момент времени, непосредственно следующий за коммутацией. Энергия элементов не может измениться скачком, и ее постепенное изменение обусловливает переходный процесс.

3. Наконец, в общем решении i = i_y + i_св , и = и_y + и_св следует найти постоянные интегрирования.

Постоянные интегрирования определяют из начальных условий, т. е. условий в цепи в начальный момент времени после коммутации. Будем считать коммутационные ключи идеальными, т. е. что коммутация в заданный момент времени происходит мгновенно. При таких коммутациях ток в индуктивном элементе и напряжение на емкостном элементе в начальный момент времени после коммутации такие же, как в момент времени, непосредственно предшествовавший коммутации. Эти условия получаются из законов коммутации.

I. Переходные процессы в линейных электрических цепях

При расчёте переходного процесса в линейной электрической цепи и в классическом, и в операторном методе получили один и тот же ответ, поэтому оба этих метода можно применять для решения задач любой сложности. Однако, классический метод физически более прозрачен, чем операторный, в котором решение уравнений во многом формализовано. Если при сравнении этих методов исходить из объёма вычислительной работы, то решение уравнений первого, второго, а иногда и третьего порядков для источников постоянной (синусоидальной) ЭДС или тока целесообразно проводить классическим методом, а решение уравнений более высоких порядков – операторным. Объясняется это тем, что чем выше порядок характеристического уравнения, тем более громоздкой и трудоёмкой оказывается операция нахождения постоянных интегрирования в классическом методе. Операторный метод имеет перед классическим некоторое преимущество из-за краткости решения.

Несинусоидальный ток

Несинусоидальные токи и напряжения могут измеряться приборами различных систем. Изучение принципа действия приборов-производится в курсе электрических измерений. Поэтому здесь упомянем лишь, на какие величины реагируют вольтметры и амперметры различных систем.

Несинусоидальные токи и Переходные явления в простейших цепях с сосредоточенными постоянными, не предусмотренные программой курса.

Несинусоидальные токи, изменяющиеся по величине, называют также пульсирующими токами.

Несинусоидальные токи в цепях возникают при синусоидальных ЭДС и напряжениях источников электрической энергии, если цепи содержат нелинейные элементы. Так, в катушке с ферромагнитным магнитопроводом, которая является нелинейным элементом, при синусоидальном напряжении сети ток несинусоидальный. Подобное явление наблюдается в промышленных городских сетях, когда в качестве осветительных приборов используются люминесцентные лампы, имеющие нелинейные вольт-амперные характеристики. На рис. 5.1 показана схема включения люминесцентной лампы Л в сеть синусоидального напряжения с ограничивающим дросселем L, работающим в линейном режиме, а также приведены графики тока и напряжения на лампе.

Несинусоидальные токи и напряжения могут измеряться приборами различных систем. Принципы действия этих приборов рассматривают в курсе электрических измерений. Поэтому здесь упомянем лишь, на какие величины реагируют вольтметры и амперметры различных систем.

Несинусоидальные токи и напряжения измеряют приборами различных систем. Принципы действия этих приборов рассматривают в курсе электрических измерений. Поэтому здесь упомянем лишь, на какие величины реагируют вольтметры и амперметры различных систем.

Несинусоидальные токи, напряжения и потоки заменены эквивалентными синусоидами.

Построение графика тока по графику напряжения и вольт-амперной характеристике.

Несинусоидальные токи и напряжения, встречающиеся в электрических цепях, представляют собой периодические функции времени, удовлетворяющие условиям Дирихле, поэтому они могут быть разложены в ряд Фурье. Физический смысл этого разложения чрезвычайно важен: периодически изменяющийся несинусоидальный ток можно рассматривать как сумму постоянного тока и ряда синусоидальных переменных токов.

Несинусоидальные токи перегружают конденсаторы, емкостное сопротивление которых обратно пропорционально порядку гармоник.

Несинусоидальные токи создают путем индукции большие помехи в проводных линиях связи и каналах телемеханики.

Несинусоидальные кривые, состоящие из основной частоты и гармоники третьего порядка.

Несинусоидальные токи — это токи, форма кривой которых отличается от синусоиды.

Несинусоидальные токи могут возникнуть по следующим причинам: источник электрической энергии дает несинусоидальное напряжение и все элементы цепи линейны; источник электрической энергии дает синусоидальное напряжение, но один или несколько элементов цепи нелинейны; источник электрической энергии дает несинусоидальное напряжение и электрическая цепь содержит одно или несколько нелинейных сопротивлений.

К построению графика мгно — j.

Общие сведения о переходных процессах.

Переходные процессы возникают в электрических цепях при различных воздействиях, приводящих к изменению их режима работы, т. е. при действии различного рода коммутационной аппаратуры, например ключей, переключателей для включения или отключения источника или приемника энергии, при обрывах в цепи, при коротких замыканиях отдельных участков цепи |и т. д.

Отметим, что физической причиной возникновения переходных процессов в цепях является наличие в них катушек индуктивности и конденсаторов, т. е. индуктивных и емкостных элементов в соответствующих схемах замещения. Объясняется это тем, что энергия магнитного и электрического полей этих элементов не может изменяться скачком при коммутации в цепи.

Переходный процесс в цепи описывается дифференциальным уравнением — неоднородным или однородным, если ее схема замещения содержит или не содержит источники ЭДС и тока. Заметим, что переходный процесс в линейной цепи описывается линейными дифференциальными уравнениями, а в нелинейной — нелинейными. В дальнейшем ограничимся расчетом переходных процессов в линейных цепях, содержащих элементы с постоянными параметрами.

4.1.2 Разложение в ряд при различных видах симметрии

Периодические функции, используемые в электротехнике, чаще всего имеют симметрию. Одни из них симметричны относительно оси абсцисс, другие – относительно оси ординат или начала координат.

На рисунке 4.1 показан график функции, симметричной относительно оси абсцисс. Для такого графика:

Рисунок 4.1 – График функции, симметричной относительно оси абсцисс

При симметрии относительно оси абсцисс значения функции повторяются с обратным знаком через половину периода, поэтому кривая второго полупериода, сдвинутая влево на π, является зеркальным отображением кривой первого полупериода.

В составе тригонометрического ряда функции, подчиняющейся условию (4.8), отсутствуют постоянная составляющая и четные гармоники. В этом нетрудно убедиться, если записать ряды вида (4.1), для функций ƒ(ωt) и ƒ(ωt+π):

Функция ƒ(ωt+π) отличается от ƒ(ωt) тем, что все нечетные гармоники имеют отрицательный знак:

Согласно условию (4.8) ƒ(ωt)+ƒ(ωt+π)=0 Тогда

При любом значении ωt это равенство возможно, если A=0; A₂=0; A₄=0 и т.д.

Таким образом, кривая, симметричная относительно оси абсцисс, выражается тригонометрическим рядом следующего вида:

Симметрию относительно оси ординат имеют кривые, у которых при изменении знака аргумента величина и знак функции не меняются (рис.4.2):

Рисунок 4.2 – Симметрия относительно оси ординат

Функция, симметричная относительно оси ординат, не содержит синусов:

В этом можно убедиться без математического доказательства. Действительно, входящие в состав ряда (17.4) косинусы симметричны относительно оси ординат, а синусы несимметричны. Если функция в целом симметрична относительно оси ординат, то это возможно лишь при отсутствии синусов. Наличие же постоянной составляющей не нарушает симметрии такого вида.

Симметрия относительно начала координат (рис. 17.3) соответствует условию:

Нетрудно заметить, что в данном случае в обеих половинах периода имеются две равные по величине ординаты с разными знаками. Поэтому среднее значение функции за период, или постоянная составляющая, равно нулю. Отсутствуют и несимметричные относительно начала координат косинусоидальные составляющие.

Рисунок 4.3 – — Симметрия относительно начала координат

Функция имеет только ряд синусов, обладающих симметрией такого же характера, как и функция в целом:

2) Операторный метод расчета переходных процессов

Операторный метод не обладает физической наглядностью в силу своей глубокой математической формализации, но в ряде случаев упрощает расчеты. Его идея заключается в том, что расчет переходного процесса переносится из области функций действительной переменной (времени t) в область функций комплексного переменного р, в которой дифференциальные уравнения преобразуются в алгебраические. Такое преобразование называется прямым. Полученное решение алгебраических уравнений обратным преобразованием переносится в область действительного переменного. Строгое обоснование метода дается в курсе математики. Здесь познакомимся лишь с техникой применения операторного метода.

Для прямого преобразования функций времени f(t) применяется преобразование Лапласа,

что сокращенно записывается так:

где функция времени f{t) — однозначная, называемая оригиналом, определенная при t > 0, интегрируемая в интервале времени 0 до ∞ и равная нулю при t < 0; F(p) — функция комплексного переменного р = σ + jώ при Re p = о > 0, называемая лапласовым изображением.

Примем, что начало переходного процесса в цепи соответствует моменту времени t=0.

В табл. 5.1 приведены примеры изображения простых функций.

Отметим некоторые свойства преобразования Лапласа, называемые также теоремами.

2. Теорема об интегрировании

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1

Текст слайда:

Периодические несинусоидальные токи в линейных электрических цепях

Слайд 2

Текст слайда:

Изображение несинусоидальных напряжений и токов с помощью рядов Фурье

где

Слайд 3

Текст слайда:

Линейчатый спектр сигнала: а)амплитудный; б)фазовый

а)

б)

Слайд 4

Текст слайда:

Действующее значение периодического несинусоидального колебания

где

— постоянная составляющая тока

— действующее значение первой, второй, третьей гармоники тока

где

— постоянная составляющая напряжения

— действующее значение первой, второй, третьей гармоники напряжения

Коэффициент гармоник:

Коэффициент нелинейных искажений:

Слайд 5

Текст слайда:

Мощность в цепях несинусоидального тока

Активная мощность

где

— сдвиг фаз между k-ми гармониками напряжения и тока

Реактивная мощность

Полная мощность

Мощность искажения

Слайд 6

Текст слайда:

Расчет линейных электрических цепей несинусоидального тока

Згідно принципу накладення, миттєве значення струму будь-якої вітки кола дорівнює доданку миттєвих значень струмів окремих гармонік. Розрахунок проводять для кожної гармоніки окремо. Спочатку необхідно розрахувати струм від дії постійної складової ЕДС, потім струм від дії від першої гармоніки, потім другої, третьої і так далі.При розрахунку струмів, що виникають від дії постійної складової, необхідно враховувати, що постійний струм через конденсатор не проходить.Індуктивний опір для k-гармоники: