Законы алгебры контактных схем

Закон одинарных элементов

Этот закон непосредственно следует из приведенных выше выражений аксиом алгебры логики (таблицы истинности логических
элементов). Верхние два выражения могут быть полезны при построении коммутаторов, ведь подавая на один из входов элемента
«2И» логический ноль или единицу можно либо пропускать сигнал на выход, либо формировать на выходе нулевой потенциал.

Второй вариант использования этих выражений заключается в возможности избирательного обнуления определённых разрядов
многоразрядного числа. При поразрядном применении операции «И» можно либо оставлять прежнее значение разряда, либо
обнулять его, подавая на соответствующие разряды единичный или нулевой потенциал. Например, в восьмиразрядном двоичном
числе требуется обнулить 6, 3 и 1 разряды. Тогда, при выполнении операции поразрядного логического умножения получим:

В приведенном примере отчетливо видно, что для обнуления необходимых разрядов в маске (нижнее число) на месте соответствующих
разрядов записаны нули (не забываем, что счет начинается с нулевого разряда), в остальных разрядах записаны единицы. В исходном
числе (верхнее число) на месте 6 и 1 разрядов находятся единицы. После выполнения операции «И» на этих местах появляются нули.
На месте третьего разряда в исходном числе находится ноль. В результирующем числе на этом месте тоже присутствует ноль.
Остальные разряды исходного числа, как и требовалось по условию задачи, не изменены.

Записывать логические единицы в нужные нам разряды многоразрядного двоичного числа можно точно таким же образом. В этом
случае необходимо воспользоваться нижними двумя выражениями закона одинарных элементов. При поразрядном применении операции
«ИЛИ» можно либо оставлять прежнее значение разряда, либо заносить в него единичное значение, подавая на соответствующие
разряды нулевой или единичный потенциал. Пусть требуется записать единицы в 7 и 6 биты восьмиразрядного числа.

Тогда, при выполнении операции поразрядного логического суммирования исходного числа с маской устанавливаемых бит, получим:

SR-триггер

Близким по смыслу является \(\;\overline{SR}\;\) триггер, который представляет собой два соединенных кольцом элемента И-НЕ:

SRQQ

Отличие от \(RS\)-триггера в том, что входы инвертированны и меняются местами.

Таблица истинности:

\(\;\overline{R}\;\) \(\;\overline{S}\;\) \(Q\)
?
1
1 1
1 1 Q

Подавать 0 на оба входа одновременно запрещено, поскольку в таком случае \(Q=\;\overline{Q}\; = 1\). При подаче после этого 1 на оба входа, состояние триггера не определено (зависит от внутренних характеристик элементов)

D-триггер

D-триггер представляет собой более удобную версию, поскольку сохраняет значение одного входа.

Имеет следующую схему:

EDQQ

Имеет два входа, D (Data) и E (Enable).

Таблица истинности:

E D Q
Q
1 Q
1
1 1 1

D-триггеры широко используются для реализации сдвиговых регистров. Сдвиговые же регистры используются, например, при приведении порядков чисел с плавающей запятой.

JK-триггер

Близкий аналог RS-триггера, J соответствует S, а K – R.

Отличием является тот факт, что при подаче на оба входа единиц, триггер меняет состояние на противоположное.

KJEQQ

В чистом виде, однако, это не слишком удобно, поскольку при подаче единиц на оба входа, состояние будет меняться с высокой частотой. Поэтому JK-триггер используют в модификации с изменением по синхроимпульсу.

T-триггер

Получается из JK подачей на \(J=K=T\). По сути, переключает состояние при подаче логической 1. На основе T-триггера можно сделать простейший счетчик: если соединить выход одного T-триггера со входом E другого, то это эффективно понизит частоту переключения второго вдвое по сравнению с первым.

Мультиплексор

Мультиплексор
логический элемент, имеющий несколько сигнальных входов, один (или более) управляющих входов и один выход
позволяет передавать сигнал с одного из входов на один выход

Простейший вариант – однобитный мультиплексор с двумя сигнальными входами – использует однобитный управляющий вход. В общем случае, число бит управляющего входа должно быть не менее \(\ceil {\log_2 N},\) где \(N\) – число сигнальных входов, \(\ceil \cdot\) – округление вверх, т.к. именно столько бит необходимо для выбора одного из сигнальных входов (следует из числа возможных комбинаций \(x\) бит равного \(2^x\))

Таблица истинности. S – управляющий вход (“select”), A, B – сигнальные входы, Z – выход
S A B Z
1
1 1
1 1 1
1
1 1 1
1 1
1 1 1 1

По таблице истинности легко можно составить формулу:

\

Или, на основе штриха Шеффера:

\

ABZS
Реализация на элементах И-НЕ

Мультиплексор считается базовым компонентом логических схем, часто изображается одним блоком и помечается символами “MS” (от “multiple select”) или “MUX” (от “multiplexor”)

MSABS
Изображение на схемах

Описание примера

Нередко перед конструктором стоит задача, которая не требует беспрекословной очередности включения механизмов

Например, при сверлении отверстий в детали неважно, в какой очередности будут просверлены отверстия диаметром 3, 4, 5 мм, также неважно, будет ли деталь перемещена, а потом охлаждена или наоборот

Законы алгебры контактных схем

Рис. 1. Все 16 возможных вариантов.

Если очередность включения исполнительных механизмов может в определенных рамках задаваться конструктором, автор предлагает, используя диаграмму Вейча, поступить следующим образом:

  1. Расписать все возможные 16 вариантов, например, четырех переменных с очередностью их изменения, аналогичной двоичной системе счисления.
  2. Все клетки диаграммы Вейча (рис.1) заполнить арабскими цифрами, соответствующими номерам расписанных 16 вариантов переменных. Данная диаграмма показана на рис.2.
  3. При составлении алгоритма очередности включения исполнительных механизмов, ориентируясь на расписанные 16 вариантов переменных и диаграмму, показанную на рис.2, стремиться к максимально возможному количеству «склеиваемых» клеток, не допуская «одиноких».

Рис. 2. Клетки диаграммы Вейча.

Рассмотрим данное предложение на конкретном примере. Допустим, поставлена задача сконструировать автомат световых эффектов для гирлянды, состоящей из трех каналов ламп. Сразу видно, что для интересных световых эффектов 16-ти тактов (вариантов переменных) недостаточно.

Поэтому спроектируем автомат на 4×16=64 такта. Для этого понадобятся: мультивибратор с инвертором (переменные А и А) и пять триггеров (переменные В, С, D, Е, G и В, С, D, Е, G).

Немного поэкспериментировав с диаграммой Вейча (рис.2) на черновике, автор спроектировал следующий алгоритм работы автомата световых эффектов (рис.З).

Законы алгебры контактных схем

Рис. 3. Алгоритм работы автомата световых эффектов.

Минимизированные логические функции автомата световых эффектов согласно рис.З будут иметь вид (формулы):

Законы алгебры контактных схем

Схемы, реализующие автомат световых эффектов, показаны на рис.4-9. Схемы управления лампами каждого из трех каналов гирлянды показаны на рис.6-8.

При составлении данных схем использованы основные законы алгебры логики (в частности, формула де Моргана А+В+С-АВС).

Законы алгебры контактных схем

Рис. 4. Схема, реализующая автомат световых эффектов (часть 1).

Законы алгебры контактных схем

Рис. 5. Схема, реализующая автомат световых эффектов (часть 2).

Законы алгебры контактных схем

Рис. 6. Схема, реализующая автомат световых эффектов (часть 3).

Законы алгебры контактных схем

Рис. 7. Схема, реализующая автомат световых эффектов (часть 4).

Законы алгебры контактных схем

Рис. 8. Схема, реализующая автомат световых эффектов (часть 5).

Благодаря этой формуле логическая функция «ИЛИ» в схемах автомата отсутствует, и вся логика организована на логических схемах «И-НЕ». При этом уже минимизированные функции (рис.З) еще более упрощаются.

Законы алгебры контактных схем

Рис. 9. Схема, реализующая автомат световых эффектов (часть 6).

На рис.9 показана схема управления тринисторами, управляющими лампами гирлянды Автор применил тринисторы Т161-160 (какие были в наличии). Естественно, можно применить тринисторы на меньшие токи.

Все зависит от количества и мощности ламп в гирлянде. Хотя, с другой стороны, лишняя мощность никогда не мешала (данный автомат уже работает более трех лет без единого сбоя на нагрузку 800 Вт в каждом канале, причем включают его ежедневно в темное время суток).

Да и габариты полупроводникового прибора на радиаторе ничуть не меньше габаритов более мощного полупроводникового прибора без радиатора.

При безошибочном монтаже и исправных деталях автомат наладки не требует и работает сразу же после включения. Нумерация выводов микросхем принята с учетом удобства конструирования печатных плат.

Автомат световых эффектов можно применить, например, на дискотеках, на городской новогодней елке. Лампы гирлянд светятся в полнакала, что значительно увеличивает их срок службы.

Красить баллоны ламп можно цапонлаком или бесцветным лаком для ногтей, добавив в него пасту из шариковых ручек. Лампы также можно покрасить нитрокраской.

При мощности ламп 25 В это допустимо, но при мощности 40 Вт и выше эта краска долго не выдерживает.

Законы алгебры контактных схем

Рис. 11. Диаграмма для схемы.

Законы алгебры контактных схем

Рис. 11. Схема автомата бегущих огней.

Используя предложенный способ применения диаграммы Вейча, можно создать простую схему 4-канальных «бегущих огней» (рис.10 и рис.11). Резисторы R4, R7, R10, R13 выбирают в зависимости от типа применяемых тринисторов VS1-VS4 .

A.H. Маньковский, Донецкая обл. Украина.

Литература:

  1. Портала О.Н. Широтно-импульсная модуляция и управление электромоторами// Электрик. — 2005. №5.
  2. Маньковский А.Н. Применение оптронов и тиристоров в схемах управления работой мощной электрической нагрузки. Электрик. 2005. №6.

2 Краткие теоретические сведения

Любая логическая схема без памяти полностью описывается таблицей истинности. Эта таблица является исходной информацией для синтеза схемы на основе логических элементов «И», «ИЛИ», «НЕ». Для разработки требуемого цифрового устройства сначала на основе таблицы истинности записывают его логическое выражение. Затем с целью упрощения цифрового устройства минимизируют его логическое выражение и далее разрабатывают схему, реализующую полученное логическое выражение. Логические выражения можно получить двумя способами:

  • на основе совершенной дизъюнктивной нормальной формы (СДНФ);
  • на основе совершенной конъюнктивной нормальной формы (СКНФ).

Совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ)
Функция представляется суммой групп. Каждая группа состоит из произведения, в которую входят все переменные.
Например:

f(x1,x2,x3) = x1·x2·x3 + x1·x2·x3 + x1·x2·x3

Совершенная конъюнктивная нормальная форма (СКНФ)
Функция представляется произведением групп. Каждая группа состоит из суммы, в которую входят все переменные.
Например:

f(x1,x2,x3) = (x1+x2+x3)·(x1+x2+x3)·(x1+x2+x3)

Если схема имеет несколько выходов, то каждый выход описывается своей функцией. Такая система функций называется системой собственных функций. СДНФ составляется на основе таблицы истинности по следующему правилу: для каждого набора переменных, при котором функция равна 1, записывается произведение, в котором с отрицанием берутся переменные, имеющие значение «0».
Пример:

Таблица 2.1 – Заданная таблица истинности

x1 x2 x3 y
1 1
1
1 1 1
1
1 1
1 1 1
1 1 1 1

СДНФ:

y = f(x1,x2,x3) = x1·x2·x3 + x1·x2·x3 + x1·x2·x3 + x1·x2·x3

СКНФ составляется на основе таблицы истинности по правилу: для каждого набора переменных, при котором функция равна 0, записывается сумма, в которой с отрицанием берутся переменные, имеющие значение 1.

Таблица 2.2 – Заданная таблица истинности

x1 x2 x3 y
1 1
1
1 1 1
1
1 1
1 1 1
1 1 1 1

СКНФ:

y = f(x1,x2,x3) = (x1+x2+x3)·(x1+x2+x3)·(x1+x2+x3)·(x1+x2+x3)

На основе полученных выражений можно составить схему устройства, реализующего заданную функцию. Схема устройства, полученная на основе СДНФ, изображена на рисунке 2.1, а на основе СКНФ на рисунке 2.2.

Рисунок 2.1 – Схема устройства, полученная на основе СДНФ

Рисунок 2.2 – Схема устройства, полученная на основе СКНФ

С целью упрощения цифрового устройства применяют минимизацию функций. Используя законы алгебры логики, можно упростить исходную функцию.

y(x1,x2,x3) = x1·x2·x3 + x1·x2·x3 + x1·x2·x3 + x1·x2·x3 =

= x1·x3·(x2+x2) + x1·x2·(x3+x3) = x1·x3 + x1·x2

На основе полученного выражения составим новую схему устройства (рисунок 2.3).

Рисунок 2.3 – Схема устройства, полученная после минимизации логической функции

Комбинационные законы

При применении комбинационных законов можно значительно упростить логическое выражение, описывающее цифровую схему и,
тем самым, упростить ее принципиальную схему. Это позволяет сократить занимаемую цифровой схемой площадь на кристалле и
потребляемый ею ток. Комбинационные законы алгебры логики во многом соответствуют комбинационным законам обычной алгебры,
но есть и отличия.

закон тавтологии (многократное повторение)

X + X + X + X = X
X * X * X * X = X

Применение этого закона в цифровой и вычислительной технике зависит от цели. Его можно использовать для минимизации
схемы, если такое выражение получается в результате преобразований исходного логического выражения.

Этот же закон позволяет использовать логические элементы с бОльшим количеством входов в качестве элементов с меньшим
количеством входов. Например, можно реализовать двухвходовую схему «2И» на элементе «3И», как это показано на рисунке 4:

или использовать схему «2И-НЕ» в качестве обычного инвертора, как это показано на рисунке 5:

Однако следует предупредить, что объединение нескольких входов увеличивает входные токи логического элемента и его
входную емкость, что увеличивает ток потребления предыдущих элементов и отрицательно сказывается на быстродействии
цифровой схемы в целом. Для уменьшения числа входов в логическом элементе лучше воспользоваться законом одинарных
элементов, как это было показано выше.

закон переместительности

A + B + C + D = A + C + B + D

В случае применения этого закона можно сократить площадь печатной платы за счет того, что в ряде случаев одни выводы
логического элемента можно заменить на другие. В результате при разработке конструкции цифрового устройства можно избежать
переходов проводника на другой слой печатной платы или сократить общую длину проводников.

закон сочетательности

A + B + C + D =A + (B + C) + D =A + B + (C + D)

Этот закон позволяет составлять многовходовые логические элементы из логических элементов с меньшим количеством входов.
Причем комбинации элементов могут быть самыми разнообразными.

закон распределительности

X1(X2 + X3) =X1X2 + X1X3X1 + X2X3 =(X1 + X2)(X1 + X3)

Докажем это выражение путём раскрытия скобок в правой части равенства:

(X1 + X2)(X1 + X3) =X1X1 + X1X3 + X1X2 + X2X3 =X1(1 + X3 + X2) + X2X3 =X1 + X2X3

Правило поглощения (одна переменная поглощает другие)

X1 + X1X2X3 =X1(1 + X2X3) = X1

Одна переменная (в данном случае логическая переменная x1) поглощает другие.

Правило склеивания (выполняется только по одной переменной)

Обратите внимание, что это правило выполняется только по одной переменной.

Также как в обычной математике в алгебре логики имеется старшинство операций. При выполнении логических выражений первым
выполняется:

  1. Действие в скобках
  2. Операция с одним операндом (одноместная операция) — «НЕ»
  3. Конъюнкция — «И»
  4. Дизъюнкция — «ИЛИ»
  5. Сумма по модулю два.

Операции одного ранга выполняются слева направо в порядке написания логического выражения. Алгебра логики линейна
и для неё справедлив принцип суперпозиции.

Дата последнего обновления файла
15.04.2020

Физика логического уровня

Физические принципы

Логический вентиль AND в Z1, реализованный с помощью металлических пластин. Более подробное описание устройства Z1 тут.Радиолампа (двойной триод)триггерСхема триггера на двух ламповых триодах. Через один из триодов идет ток (триод открыт), благодаря этому на сетке второго возникает потенциал, не позволяющий току идти через второй триод (триод закрыт). Если кратковременно подать отрицательный потенциал на сетку открытого триод, то ток прекратится, поэтому второй триод откроется и закроет первый, тем самым перейдя во второе устойчивое состояние.транзисторКопия первого в мире работающего транзистора.

Популярные статьи  Что такое нейтральный проводник (n), его обозначение, назначение, требования

Полупроводники

Кристаллическая решетка атомов кремния. В качестве примеси n-типа (центр) использован мышьяк (атом, потерявший электрон, становится положительным ионом), в качестве примеси p-типа (справа) использован бор (при перемещении дырки атом бора получает дополнительный электрон и становится отрицательным ионом).

Диод — соединение p-полупроводника (катода) и n-полупроводника (анода). Когда напряжение на аноде превышает напряжение на катоде, ток идет (от анода к катоду). В обратном случае ток не течет. На рисунке представлена схема работы n-МОП транзистора. Когда напряжение на затворе равно 0 В, канал движения тока между истоком и стоком закрыт (транзистор выключен). Когда напряжение на затворе равно напряжению питания (Vdd), это создает электрическое поле между затвором и подложкой, в результате в зону между истоком и стоком под слоем окисла формируется избыток электронов. При достаточно высоком напряжении на нижней границе затвора накапливается настолько много электронов, что область с полупроводником p-типа превращается в область с полупроводником n-типа. Такая область называется каналом. В этот момент в транзисторе образуется область проводимости от источника n-типа, через каналы n-типа к стоку n-типа, и через этот канал электроны могут беспрепятственно перемещаться от истока к стоку. Транзистор включен. p-МОП-транзисторы работают ровно наоборот.комплементарный МОП

n-МОП-транзистор N1 включен между землей GND и выходным контактом Y. В свою очередь, p-МОП транзистор P1 включен между напряжением питания VDD и выходным контактом Y. Напряжение на входном контакте А управляет переходами обоих транзисторов.Вентиль И-НЕВентиль ИЛИ-НЕ

Заключение

Computer Systems: A Programmer’s PerspectiveThe Elements of Computing Systems (Nand2Tetris)Digital Design and Computer Architecture

Логические функции

Логические функции одной переменной

Функция Название Обозначение
Константа нуля
Повторение x
Логическое отрицание, инверсия, «НЕ»
Константа единицы
Переменная Логические функции
x
1 1
1 1 1
  • Пригодится: минимизация логических функций — общие сведения
  • Пригодится: минимизация логических функций методом непосредственных преобразований

Логические функции двух переменных

Функция Название Обозначение
Константа нуля или False
Логическое умножение, конъюнкция, «И» или или или
Запрет по или
Переменная
Запрет по или
Переменная
Сложение по модулю 2, отрицание эквивалентности, исключающее «ИЛИ» или или
Логическое сложение, дизъюнкция, «ИЛИ» или или или
Функция Пирса (Вебба), «ИЛИ-НЕ» или или
Логическая равнозначность, эквиваленция или или или
Отрицание
Правая импликация или
Отрицание
Левая импликация или
Функция Шеффера, «И-НЕ» или или
Константа единицы или True

Ниже дана таблица истинности для логических функций от двух переменных.

X1 1 1
X2 1 1
1
1
1 1
1
1 1
1 1
1 1 1
1
1 1
1 1
1 1 1
1 1
1 1 1
1 1 1
1 1 1 1

В логических схемах функции могут быть реализованы с произвольных количеством
входных переменных, примеры — в материале Логические схемы и таблицы истинности.

Ответить на контрольные вопросы, а затем посмотреть ответы

Контрольный вопрос 1. Даны две переменные
и .
Число различных булевых векторов и различных ФАЛ от полученных векторов равны соответственно:

  • 8 и 16
  • 8 и 32
  • 4 и 8
  • 4 и 16

Контрольный вопрос 2. Какие из функций не являются ФАЛ одной переменной
(и одна, и вторая в варианте ответа):

  • отрицание и сложение по модулю два
  • эквивалентность и повторение
  • отрицание и импликация
  • функция Шеффера и эквивалентность
  • запрет по и отрицание
  • Пригодится: минимизация логических функций — общие сведения
  • Пригодится: минимизация логических функций методом непосредственных преобразований

Глава 3

ТЕОРИЯ
КОНТРОЛЯ КОНТАКТНЫХ СХЕМ

3.1.
Представление контактных схем

          В данной книге рассматриваются проблемы
диагностирования четырех классов устройств: релейно-контактных схем (РКС), схем
на функциональных логических элементах, микропроцессорных систем и аналоговых
устройств. Наиболее простым объектом является РКС, которым посвящена данная
глава.

          Будем рассматривать схемы,
построенные на замыкающих (фронтовых) и размыкающих (тыловых) контактах
нейтральных реле. Известно, что любая функция алгебры логики, записанная в базисе
{И, ИЛИ, НЕ}, может быть реализована с помощью контактной схемы. При этом
функция И реализуется за счет последовательного соединения контактных
двухполюсников, функция ИЛИ – за счет их параллельного соединения, а функция НЕ
– за счет использования размыкающего контакта реле. На рис. 3.1 представлена
контактная схема, вычисляющая функцию

.                         (3.1)

Рис.3.1. Параллельно-последовательная схема

          Схемы, построенные по
указанным правилам, называются параллельно-последовательными. В них
любые два контактных двухполюсника соединены параллельно или последовательно.
Это свойство не выполняется в мостиковых схемах. Пример такой схемы
приведен на рис. 3.2.

Рис.3.2. Мостиковая схема

В дальнейшем рассматриваются
параллельно-последовательные схемы, как наиболее распространенные на практике.

          Путь Р в схеме есть
минимальное множество контактов, замыкание которых образует путь проводимости
между внешними полюсами схемы. На рис. 3.1 внешними полюсами являются точки 1 и
2 и схема имеет шесть путей: , , , , , .

          Сечение S в схеме есть минимальное множество
контактов, размыкание которых обеспечивает обрыв проводимости между внешними
полюсами схемы. Схема на рис. 3.1 имеет шесть сечений (переменные,
соответствующие контактам сечения записываются с инверсией, так как контакты
должны быть разомкнуты): , , , , , . Следует заметить, что не всякий путь и не
всякое сечение реализуются, так как они могут содержать противоречие. Так, для
реализации сечения  необходимо, чтобы одновременно
были разомкнуты размыкающий и замыкающий контакты реле А, что невозможно.

          Для каждой контактной схемы
существует инверсная ей схема, реализующая инверсную функцию . Она получается из исходной схемы заменой
замыкающих контактов на размыкающие и наоборот, а также заменой
последовательного соединения контактных двухполюсников на параллельное и
наоборот. На рис. 3.3 представлена схема, инверсная схеме на рис. 3.1, вычисляющая
функцию

.                                   (3.2)

Рис3.3. Инверсная контактная схема

Очевидно, в инверсных друг другу
схемах пути одной схемы соответствуют сечениям другой и наоборот.

          Структура контактной схемы
полностью задается дизъюнкцией путей. Эта формула называется эквивалентной
нормальной формой
(ЭНФ), Для схемы (рис. 3.1) она имеет вид

.            (3.3)

Буквы ЭНФ соответствуют контактам, а
конъюнкции ЭНФ – путям схемы. Обратная эквивалентная нормальная форма (ОЭНФ)
описывает структуру инверсной схемы (рис. 3.3):

 .  (3.4)

Если в формулах ЭНФ и ОЭНФ (3.3 и 3.4) исключить индексы
букв, то получим формулы, эквивалентные функциям  и  (3.1 и 3.2).

          ЭНФ и ОЭНФ содержат всю
необходимую информацию для решения любой задачи тестирования контактной схемы.
Их недостатком является громоздкость при большом числе путей. Например, на рис.
3.4 приведена контактная структура, сложность ЭНФ (число путей) которой растет
по закону .

Рис.3.4. Пример контактной структуры

 Существует представление РКС,
сложность которого растет лишь линейно .

          Введем отношение совместимости
между буквами ЭНФ (контактами). Две буквы  a и b
называются совместимыми, если они вместе входят хотя бы в одну конъюнкцию ЭНФ.
Отношение совместимости обозначим знаком *. Это отношение является рефлексивным (a* a)  и симметричным (a * b Þ b * a) и задается двоичной матрицей совместимости
(МС). Строки и столбцы МС соответствуют буквам ЭНФ (контактам). На пересечении
строки a и столбца b ставится 1, если буквы a и b совместимы. В табл. 3.1 показана МС для схемы (рис.
3.1), а в табл. 3.2 – обратная МС (ОМС) для инверсной схемы (рис. 3.3).

Популярные статьи  Электрические конвекторы — где купить настенные и энергосберегающие

          МС в неявном виде задает ЭНФ. Это определяет
следующая теорема.

          Теорема 3.1. Для
того, чтобы множество букв ЭНФ  составляло конъюнкцию
ЭНФ  необходимо и достаточно выполнение двух
условий:

1)  буквы  попарно
совместимы;

2)  не существует буквы , которая совместима со всеми буквами из М.

5.12. Что такое переключательная схема?

В компьютерах и других автоматических устройствах широко применяются
электрические схемы, содержащие сотни и тысячи переключательных элементов:
реле, выключателей и т.п. Разработка таких схем весьма трудоёмкое дело.
Оказалось, что здесь с успехом может быть использован аппарат алгебры
логики.

Переключательная схема это схематическое изображение
некоторого устройства, состоящего из переключателей и соединяющих их
проводников, а также из входов и выходов, на которые подаётся и с которых
снимается электрический сигнал.

Каждый переключатель имеет только два состояния: замкнутое и
разомкнутое.

Переключателю Х поставим в соответствие логическую переменную х,
которая принимает значение 1 в том и только в том случае, когда переключатель
Х замкнут и схема проводит ток; если же переключатель разомкнут, то
х равен нулю.

Будем считать, что два переключателя Х и связаны таким образом, что когда Х замкнут,
то разомкнут, и наоборот.
Следовательно, если переключателю Х поставлена в соответствие логическая
переменная х, то переключателю должна соответствовать переменная .

Всей переключательной схеме также можно поставить в соответствие
логическую переменную, равную единице, если схема проводит ток, и равную
нулю если не проводит. Эта переменная является функцией от
переменных, соответствующих всем переключателям схемы, и называется
функцией проводимости.

Найдем функции проводимости F некоторых переключательных схем:

a)  
Схема не содержит переключателей и проводит ток всегда, следовательно
F=1
б)  
Схема содержит один постоянно разомкнутый контакт, следовательно
F=0
в)  
Схема проводит ток, когда переключатель х замкнут, и не проводит, когда
х разомкнут, следовательно, F(x) = x
г)  
Схема проводит ток, когда переключатель х разомкнут, и не проводит,
когда х замкнут, следовательно, F(x) =
д)  
Схема проводит ток, когда оба переключателя замкнуты, следовательно,
F(x) = x . y
е)  
Схема проводит ток, когда хотя бы один из переключателей замкнут,
следовательно, F(x)=x v y; 
ж)  
Схема состоит из двух параллельных ветвей и описывается функцией

Две схемы называются равносильными, если через одну
из них проходит ток тогда и только тогда, когда он проходит через другую
(при одном и том же входном сигнале).

Из двух равносильных схем более простой считается та
схема, функция проводимости которой содержит меньшее число логических
операций или переключателей.

Задача нахождения среди равносильных схем наиболее простых является очень
важной. Большой вклад в ее решение внесли российские учёные Ю.И

Журавлев,
С.В. Яблонский и др.

При рассмотрении переключательных схем возникают две основные задачи:
синтез и анализ схемы.

СИНТЕЗ СХЕМЫ по заданным условиям ее работы сводится к следующим
трём этапам:

  1. составлению функции проводимости по таблице истинности, отражающей эти
    условия;
  2. упрощению этой функции;
  3. построению соответствующей схемы.

АНАЛИЗ СХЕМЫ сводится к

  1. определению значений её функции проводимости при всех возможных
    наборах входящих в эту функцию переменных.
  2. получению упрощённой формулы.

Примеры.

1. Построим схему, содержащую 4
переключателя x, y, z и t, такую, чтобы она проводила ток тогда и только
тогда, когда замкнут контакт переключателя t и какой-нибудь из остальных
трёх контактов.

Решение. В этом случае можно обойтись без построения таблицы
истинности. Очевидно, что функция проводимости имеет вид
F(x, y, z, t) = t . (x v y v z), а схема
выглядит так:

2. Построим схему с пятью
переключателями, которая проводит ток в том и только в том случае, когда
замкнуты ровно четыре из этих переключателей.

Схема имеет вид:

3. Найдем функцию проводимости схемы:

Решение. Имеется четыре возможных пути прохождения тока при
замкнутых переключателях a, b, c, d, e : через переключатели a, b; через
переключатели a, e, d; через переключатели c, d и через переключатели
c, e, b. Функция проводимости F(a, b, c, d, e) =
a . b   v   a . e . d   v  
c . d   v   c . e . b.

4. Упростим переключательные схемы:

а)  

Решение:   

Упрощенная схема:

б)  

.

Здесь первое логическое слагаемое является отрицанием второго логического слагаемого
, а дизъюнкция
переменной с ее инверсией равна 1.

Упрощенная схема :

в)  

Упрощенная схема:

г)  

Упрощенная схема:

д)  

(по закону склеивания)

Упрощенная схема:

е)  

Решение:

Упрощенная схема:

Цифровая абстракция

Логические выраженияЛогические связкии

Математический язык

Логические операции

Название операции Обозначение Речевой оборот
Инверсия (отрицание, логическое НЕ) ¬A; A̅; Не A; Неверно, что A;
Дизъюнкция (логическое ИЛИ) A V B; A + B; А или В или оба вместе;
Конъюнкция (логическое И) A Λ B; A & B; A · B; A и B вместе;
Импликация (следование) A → B; если A, то B;
Эквивалентность (тождество) AB; A≡B; A эквивалентно/равносильно B
Стрелка Пирса (ИЛИ-НЕ) A↓B; Ни A, ни B;
Штрих Шеффера (И-НЕ) A|B; Неверно, что A и B;
Сложение по модулю 2 (строгая дизъюнкция, XOR) A⊕ B; Либо A, либо B;

A B

  1. Инверсия;
  2. Конъюнкция и штрих Шеффера;
  3. Дизъюнкция и стрелка Пирса;
  4. Импликация и сложение по модулю 2;
  5. Эквивалентность;

Аксиомы
Свойства и законы

Если A истинно, то B тоже истинно

A B F(A.B)
1
1 1
1
1 1 1

f(A, B, C)

A B C F(A, B,C)
1 1
1 1
1 1 1
1 1
1 1 1
1 1 1
1 1 1 1

Построение контактных схем[править]

Представление одного из базисов в контактных схемахправить

Любую булеву функцию можно представить в виде контактной схемы. Для этого необходимо привести её к ДНФ или КНФ, а затем построить, используя комбинации трех логических элементов:

Конъюнкция

Дизъюнкция

Отрицание

Построение контактных схемправить

Пусть задана произвольная булева функция. Требуется построить для нее контактную схему, которая ее реализует.
В качестве примера рассмотрим функцию, представленную в ДНФ: . Каждой скобке ДНФ соответствует цепочка из последовательных соединенных контактов, определяемых переменными содержащимися в скобке. При этом, вся схема состоит из параллельных соединений указанных цепочек. Для приведенного примера соответствует схема приведена ниже.

Законы алгебры контактных схем

Рейтинг
( Пока оценок нет )
Денис Серебряков/ автор статьи
Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: